Страница
16
Пример 8. Доказать, что если,то
Доказательство
Обозначим координаты соответствующих векторов следующим образом
. Согласно форму
ле (4) имеем:
=
= =
.
Пример 10. Доказать, что если > 0,
> 0, то для любых
справедливо неравенство
.
Решение. 1 способ (“стандартный”). По условию задачи обе части этого неравенства положительны, поэтому оно равносильно следующему:
≤
.
Перенося все члены этого неравенства в правую часть, приведя в нем подобные члены и перегруппировав, запишем его в равносильной форме:
() + (
) + (
) ≥ 0.
Поскольку каждое выражение в скобках полный квадрат, то последнее неравенство очевидно, а, следовательно, справедливо равносильное ему исходное неравенство.
2 способ (векторно-координатный метод). Введем векторы
.
Тогда и скалярное произведение этих векторов
. Согласно (2)
, т.е. получаем неравенство
.
2. Задачи на нахождение наибольших и наименьших значений функции.
Покажем применение неравенства Коши-Буняковского при отыскании наибольших и наименьших значений функции.
Пример 11. Найти наибольшее значение функции
Решение
Эта функция определена для -7 ≤ ≤ 11.
Рассмотрим векторы:
.
Тогда
.
|

Отсюда следует, что .
[-7,11]
Это наибольшее значение достигается, если векторы коллинеарны, т.е.
· 1,
· 1. При этом
, т.е.
, откуда
. Итак, Ymax=
.
Пример 12. Найдем наибольшее значение выражения.
Пусть . Тогда данное выражение является скалярным произведением векторов
. Согласно известному неравенству о скалярном произведении
.
Но . Поэтому искомое наибольшее значение выражения равно 13. Достигается оно при условии равенства:
, а оно имеет место в случае сонаправленности векторов
, т.е. когда имеет место пропорция
. Отсюда
, т.е.
. Отсюда
,
∈ℤ. Аналогично можно найти и наименьшее значение данного выражения.
В общем случае выражение из таких же соображений заключается в границы
≤
≤
. Выражение
есть не что иное, как скалярное произведение векторов
.
Пример 13. Найти наибольшее значение функции
.
Решение
Эта функция определена при всех ∈ℝ. Введем векторы:
Тогда
На основании (2) имеем
|

что реализуется при коллинеарности векторов , т.е.
· 1,
· 1,
при этом:
Другие рефераты на тему «Педагогика»:
- Эффективность деятельности методиста в профессиональном училище
- Влияние бального танца на двигательную активность детей дошкольного возраста
- Использование метода проектов на уроках экономики
- Возможности использования музыки в эмоциональном развитии дошкольников с интеллектуальной недостаточностью
- Разработка системы учебных занятий по дисциплине "Анализ финансово-хозяйственной деятельности" с использованием методов активного обучения