Методика проведения факультативного курса "Методы решения нестандартных задач по алгебре"

Пример 8. Доказать, что если,то

Доказательство

Обозначим координаты соответствующих векторов следующим образом . Согласно форму

ле (4) имеем:

=

= =.

Пример 10. Доказать, что если > 0, > 0, то для любых справедливо неравенство .

Решение. 1 способ (“стандартный”). По условию задачи обе части этого неравенства положительны, поэтому оно равносильно следующему:

≤

.

Перенося все члены этого неравенства в правую часть, приведя в нем подобные члены и перегруппировав, запишем его в равносильной форме:

() + () + () ≥ 0.

Поскольку каждое выражение в скобках полный квадрат, то последнее неравенство очевидно, а, следовательно, справедливо равносильное ему исходное неравенство.

2 способ (векторно-координатный метод). Введем векторы

.

Тогда и скалярное произведение этих векторов . Согласно (2) , т.е. получаем неравенство .

2. Задачи на нахождение наибольших и наименьших значений функции.

Покажем применение неравенства Коши-Буняковского при отыскании наибольших и наименьших значений функции.

Пример 11. Найти наибольшее значение функции

Решение

Эта функция определена для -7 ≤ ≤ 11.

Рассмотрим векторы:

.

Тогда

.

Отсюда следует, что .

[-7,11]

Это наибольшее значение достигается, если векторы коллинеарны, т.е. · 1, · 1. При этом , т.е. , откуда . Итак, Ymax= .

Пример 12. Найдем наибольшее значение выражения.

Пусть . Тогда данное выражение является скалярным произведением векторов . Согласно известному неравенству о скалярном произведении .

Но . Поэтому искомое наибольшее значение выражения равно 13. Достигается оно при условии равенства: , а оно имеет место в случае сонаправленности векторов , т.е. когда имеет место пропорция . Отсюда , т.е.. Отсюда, ∈ℤ. Аналогично можно найти и наименьшее значение данного выражения.

В общем случае выражение из таких же соображений заключается в границы ≤≤. Выражение есть не что иное, как скалярное произведение векторов .

Пример 13. Найти наибольшее значение функции

.

Решение

Эта функция определена при всех ∈ℝ. Введем векторы:

Тогда

На основании (2) имеем

что реализуется при коллинеарности векторов , т.е.

· 1,

· 1,

при этом: