Методика проведения факультативного курса "Методы решения нестандартных задач по алгебре"

Решение. (используется утверждение 3). Попытки найти корни этого иррационального уравнения, возводя обе части в квадрат, обречены на неудачу. Заметим, что левая часть этого уравнения неотрицательна при всех значениях x из области определения, в то время как его правая часть меньше нуля при всех значениях x. Следовательно, данное уравнение не имеет решений.

=,

т.е. левая часть меньше правой. Уравнение не имеет решений.

Пример 6. Сколько корней на отрезке 0≤имеет уравнение

?

Решение.1 способ (стандартный). Используются формулы разности синусов и двойного угла: перепишем уравнение в виде , отсюда , следовательно, . Рассматривая левую часть этого уравнения как квадратный трехчлен относительно , получаем, что его наибольшее значение будет равно 3 при , а с другой стороны, на 0≤ 0≤≤1, так что ≥ 3 и равенство имеет место при =1.Таким образом, исходное уравнение удовлетворяется, если одновременно и=1, но это невозможно, т.е. уравнение не имеет решений.

2 способ (использование неравенств). Это решение самое короткое и проводится независимо от ограничений на .Переписав уравнение в виде , или

напишем следующую цепочку:

=

= .

Посколькупри любом ∈ℝ (это легко доказать, раскрывая модули или возведением в квадрат), то левая часть последнего уравнения по абсолютной величине не превосходит и не может, следовательно, равняться 3. Уравнение не имеет решений.

Как правило, количество неизвестных в системе уравнений и количество уравнений совпадает. Но иногда бывают задачи, где число уравнений меньше числа неизвестных. В таких случаях обычно структура уравнения скрывает какие-либо ограничения на неизвестные. В следующей задаче по одному уравнению от двух неизвестных удается построить равносильную ей систему двух уравнений и найти все ее решения.

Пример 7. Найти все пары чисел (), удовлетворяющие уравнению

Решение

Пусть () удовлетворяет условию задачи, т.е.

.

Используя формулы: и , получим

Или

. (1)

Если , то = -1, что противоречит (1).

Следовательно, ≠ 0 и > 0. Если ≠ 1, то и .

Тем самым необычность данной системы полностью “снята” – мы имеем обыкновенную систему трех уравнений с тремя неизвестными, и притом чрезвычайно простую. В самом деле, из двух новых уравнений и второго данного мы сразу же получаем .

Решения данной системы имеют вид: , где ∈ℤ.

Упражнения для самостоятельной работы дома даны в Приложении.

Занятие 2. Решение неравенств с использованием свойства ограниченности функций

Цели: проверить усвоение материала предыдущего занятия на основе разбора некоторых задач из домашнего задания; учить применять метод оценок при решении неравенств.

В начале занятия предлагается разобрать задачи 4,6,7 из домашнего задания.

Рассмотрим решение некоторых неравенств, проводя оценки входящих в них функций.

Пример 1. Решить неравенство > 1.

Решение. Область определения этого неравенства состоит из значений таких, что≥ 0

и ≥ 0. Кроме того, и , и, по свойству степеней, ≥ , ≥ . Складывая эти неравенства, получаем ≥,т.е.

≥ 1, причем равенство достигается лишь в случае, когда одновременно выполняются равенства .

Легко установить, что эти уравнения удовлетворяются одновременно лишь при ,∈ℤ, и, таким образом, исходное неравенство выполняется для всех