Методика проведения факультативного курса "Методы решения нестандартных задач по алгебре"
2. Решение систем уравнений векторно-координатным методом.
Пример 5. Решить систему уравнений
(1)
(2)
Решение
На первый взгляд может показаться, что система имеет бесконечное множес
тво решений (три переменных и два уравнения). Однако такое мнение ошибочно. Как будет показано, система имеет единственное решение.
Рассмотрим векторы: . Тогда, учитывая (1):
(3) Т.к.
, то:
(4)
Из (3) и (4) получаем , т.е. имеет место равенство в соотношении
Следовательно, векторы
сонаправлены, т.е. их координаты пропорциональны
.Поэтому
=
, а с учетом (1) имеем, что
=
=
.Ответ:
Объясним теперь геометрически, почему система (1)-(2) имеет единственное решение. Уравнение (1) – уравнение плоскости, пересекающей оси координат в точках : (1,0,0), (0,1,0), (0,0,1). Уравнение (2) – уравнение сферы с центром в начале координат и радиусом.
Если рассматривать сферы, радиусы которых r < , то такие сферы не будут пересекаться с плоскостью (1). В этом случае система (1)-(2) не будет иметь решений.
При r= (что имеем в уравнении (2)) сфера будет касаться плоскости (1) – у сферы и плоскости будет одна общая точка, координаты которой будут решением данной системы.
При r> сфера будет пересекать плоскость по некоторой окружности, координаты точек которой будут решениями соответствующей системы. В этом случае система имеет бесконечное множество решений.
Пример 6. Решить систему уравнений
(5)
(6)
Решение
Эта система, аналогично предыдущей, на первый взгляд кажется неопределенной, но, в отличие от предыдущей, она не имеет решений.
Положим . Тогда очевидно, что
(учитывая уравнение (5)),
. Из (6) следует, что
. Получается
, что невозможно. Следовательно, система (5)-(6) решений не имеет.
Объясним геометрически, почему система (5)-(6) не имеет решений.
Введем новые переменные, положив ,
,
. Тогда система (5)-(6) примет вид:
(5’)
(6’)
Рассуждениями, аналогичными приведенным в объяснении к решению системы (1)-(2), приходим к выводу, что сфера (5’) и плоскость (6’) не имеют общих точек и потому система (5’)-(6’), а значит, и система (5)-(6) не имеют решений. Действительно, начало координат в системе Ouvw удалено от плоскости (6’) на расстояние >1. Поэтому сфера (5’) радиуса 1 не имеет общих точек с плоскостью (6’), а система (5)-(6) не имеет решений.
Рассмотрим системы трех уравнений с тремя переменными.
Пример 7. Решите систему уравнений
.
Решение. Так как не является решением системы, то, разделив обе части первого уравнения системы на
, получим систему, равносильную данной:
![]() |
.
Рассмотрим векторы:.Тогда
.Таким образом,
, что означает коллинеарность векторов
и, значит, пропорциональность их координат
:
=
:
=
:
,
откуда и
.Из второго уравнения исходной системы получим:
,
,
=±
и, следовательно,
= ±
,
=±
.
Другие рефераты на тему «Педагогика»:
- Метод дискуссии
- Возможности профессиональной ориентации учащихся 10-11 классов при обучении элективному курсу "Основы веб-дизайна"
- Библиотека и читательское развитие ребенка
- Формирование изобразительных умений и навыков у детей младшего дошкольного возраста на занятиях рисования
- Занятие по развитию речи в подготовительной группе по теме "Перелетные птицы"
Поиск рефератов
Последние рефераты раздела
- Тенденции развития системы высшего образования в Украине и за рубежом: основные направления
- Влияние здоровьесберегающего подхода в организации воспитательной работы на формирование валеологической грамотности младших школьников
- Характеристика компетенций бакалавров – психологов образования
- Коррекционная программа по снижению тревожности у детей младшего школьного возраста методом глинотерапии
- Формирование лексики у дошкольников с общим недоразвитием речи
- Роль наглядности в преподавании изобразительного искусства
- Активные методы теоретического обучения