Методика проведения факультативного курса "Методы решения нестандартных задач по алгебре"

2. Решение систем уравнений векторно-координатным методом.

Пример 5. Решить систему уравнений

(1)

(2)

Решение

На первый взгляд может показаться, что система имеет бесконечное множес

тво решений (три переменных и два уравнения). Однако такое мнение ошибочно. Как будет показано, система имеет единственное решение.

Рассмотрим векторы: . Тогда, учитывая (1): (3) Т.к. , то: (4)

Из (3) и (4) получаем , т.е. имеет место равенство в соотношении Следовательно, векторы сонаправлены, т.е. их координаты пропорциональны .Поэтому=, а с учетом (1) имеем, что ==.Ответ:

Объясним теперь геометрически, почему система (1)-(2) имеет единственное решение. Уравнение (1) – уравнение плоскости, пересекающей оси координат в точках : (1,0,0), (0,1,0), (0,0,1). Уравнение (2) – уравнение сферы с центром в начале координат и радиусом.

Если рассматривать сферы, радиусы которых r < , то такие сферы не будут пересекаться с плоскостью (1). В этом случае система (1)-(2) не будет иметь решений.

При r= (что имеем в уравнении (2)) сфера будет касаться плоскости (1) – у сферы и плоскости будет одна общая точка, координаты которой будут решением данной системы.

При r> сфера будет пересекать плоскость по некоторой окружности, координаты точек которой будут решениями соответствующей системы. В этом случае система имеет бесконечное множество решений.

Пример 6. Решить систему уравнений

(5)

(6)

Решение

Эта система, аналогично предыдущей, на первый взгляд кажется неопределенной, но, в отличие от предыдущей, она не имеет решений.

Положим . Тогда очевидно, что (учитывая уравнение (5)), . Из (6) следует, что . Получается , что невозможно. Следовательно, система (5)-(6) решений не имеет.

Объясним геометрически, почему система (5)-(6) не имеет решений.

Введем новые переменные, положив , , . Тогда система (5)-(6) примет вид:

(5’)

(6’)

Рассуждениями, аналогичными приведенным в объяснении к решению системы (1)-(2), приходим к выводу, что сфера (5’) и плоскость (6’) не имеют общих точек и потому система (5’)-(6’), а значит, и система (5)-(6) не имеют решений. Действительно, начало координат в системе Ouvw удалено от плоскости (6’) на расстояние >1. Поэтому сфера (5’) радиуса 1 не имеет общих точек с плоскостью (6’), а система (5)-(6) не имеет решений.

Рассмотрим системы трех уравнений с тремя переменными.

Пример 7. Решите систему уравнений

.

Решение. Так как не является решением системы, то, разделив обе части первого уравнения системы на , получим систему, равносильную данной:

.

Рассмотрим векторы:.Тогда .Таким образом, , что означает коллинеарность векторов и, значит, пропорциональность их координат : =: =:,

откуда и .Из второго уравнения исходной системы получим: , , =± и, следовательно, = ±, =±.