Моделирование процессов тепло- и массопереноса при закачке радиоактивных растворов в глубокозалегающие пласты

Подставляя найденные значения производных в уравнение (2.1.32), получим

Решение уравнения (2.1.41) с учётом граничного условия (2.1.36) имеет вид

Введём обозначение

Тогда полное решение задачи в пространстве изображений

Для удобства перехода в пространство оригиналов, решения с учётом (2.1.43) запишем в виде

Перейдем в пространство оригиналов, используя формулы обратного преобразования Лапласа – Карсона [23]

,

В нашем случае имеем

Совершив обратное преобразование Лапласа – Карсона, и перейдя в пространство оригиналов, решение задачи в нулевом приближении представим в виде

Учтём, что наиболее важные физические результаты обусловливаются нулевым приближением асимптотического разложения, первый и последующий коэффициенты определяют «поправки». Кроме того, в силу малости коэффициента диффузии (~10-9÷10-11) распространение загрязнителя в водоупорных пластах в вертикальном направлении ничтожно (по сравнению с конвективном переносом в пористом пласте) и слабо влияет на размеры зоны заражения, поэтому проведём сравнение полученных результатов только для пористого пласта (2.1.28), (2.1.52).

На рис. 2.1 показана зависимость разности между плотностями загрязнителя в пористом пласте без учёта и с учетом радиоактивного распада в водоупорных пластах от координаты r. График 1 соответствует периоду полураспада Т1/2=100 лет, 2 – 10 лет, 3 – 1 год. Вычисления проведены для времени =30 лет, интенсивность закачки – 100 м3/сут.

Из рис. 2.2 следует, что возникающая при замене (2.1.28) на (2.1.52) относительная разность , возрастает при увеличении постоянной распада (уменьшении периода полураспада) и для короткоживущих нуклидов (T1/2 ~ 100 сут.) на фронте загрязнителя составляет более 0,4. Однако, абсолютная разность плотностей при этом уменьшается с ростом At и для тех же короткоживущих нуклидов становится ничтожно малой (рис. 2.1). Расчёты приведены для безразмерного времени t = 10, что соответствует размерному времени ~ 30 лет. При уменьшении расчётного времени погрешности также уменьшаются.

На рис. 2.3 видно, что и сами абсолютные значения плотностей короткоживущих загрязнителей для указанного момента времени на границе зоны загрязнения практически обращаются в ноль. При увеличении периода полураспада нуклида до ~ 30 лет абсолютное значение плотности его на границе зоны загрязнения остаётся весьма значительным (рис. 2.3), но относительная разность между результатами (2.1.28) и (2.1.52) составляет несколько процентов (рис. 2.2). Уменьшение при расчётах коэффициента δ на порядок () приводит к уменьшению абсолютной и относительной разности ещё примерно вдвое.

 Скачать реферат